笛沙格同调小说主角

发布于 2023-06-24 21:35:28 阅读量 198

A. 100个历史上最有名的初等数学难题答案

第1题蒙日问题Monge's Problem
画一个圆，使其与三已知圆正交。
第2题阿波洛尼斯相切问题The Tangency Problem of Apollonius
画一个与三个已知圆相切的圆。
第3题马索若尼圆规问题Macheroni's Compass Problem
证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出。
第4题斯坦纳直尺问题Steiner's Straight-edge Problem
证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图，如果在平面内给出一个定圆，只用直尺便
可作出。
第5题德里安倍立方问题The Deliaii Cube-doubling Problem
画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边。
第6题三等分一个角Trisection of an Angle
把一个角分成三个相等的角。
第7题正十七边形The Regular Heptadecagon
画一正十七边形。
第8题阿基米德π值确定法Archimedes' Determination of the Number Pi{/color]
设圆的外切和内接正2vn边形的周长分别为av和bv，便依次得到多边形周长的阿基米
德数列：a0，b0，a1，b1，a2，b2，…其中av+1是av、bv的调和中项，bv+1是bv、av+1
的等比中项。假如已知初始两项，利用这个规则便能计算出数列的所有项。这个方法叫
作阿基米德算法。
[color=blue]第39题富斯弦切四边形问题Fuss' Problem of the Chord-Tangent Qua
drilateral
找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系。（注：一个双心或弦切
四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形）
第10题测量附题Annex to a Survey
利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置。
第11题阿尔哈森弹子问题Alhazen's Billiard Problem
在一个已知圆内，作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形。
第12题由共轭半径作椭圆An Ellipse from Conjugate Radii
已知两个共轭半径的大小和位置，作椭圆。
第13题在平行四边形内作椭圆An Ellipse in a Parallelogram
在规定的平行四边形内作一内切椭圆，它与该平行四边形切于一边界点。
第14题由四条切线作抛物线A Parabola from Four Tangents
已知抛物线的四条切线，作抛物线。
第15题由四点作抛物线A Parabola from Four Points
过四个已知点作抛物线。
第16题由四点作双曲线A Hyperbola from Four Points
已知直角（等轴）双曲线上四点，作出这条双曲线。
第17题范·施古登轨迹题Van Schooten's Locus Problem
平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动，第三个顶点的轨迹是
什么？
第18题卡丹旋轮问题Cardan's Spur Wheel Problem
一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时，这个圆盘上标定的一点所描
出的轨迹是什么？
第19题牛顿椭圆问题Newton's Ellipse Problem
确定内切于一个已知（凸）四边形的所有椭圆的中心的轨迹。
第20题彭赛列-布里昂匈双曲线问题The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem
确定内接于直角（等边）双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹。
第21题作为包络的抛物线A Parabola as Envelope
从角的顶点，在角的一条边上连续n次截取任意线段e，在另一条边上连续n次截取线
段f，并将线段的端点注以数字，从顶点开始，分别为0，1，2，…，n和n，n－1，…，
2，1，0。
求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线。
第22题星形线The Astroid
直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动，求这条直线的包络。
第23题斯坦纳的三点内摆线Steiner's Three-pointed Hypocycloid
确定一个三角形的华莱士（Wallace）线的包络。
第24题一个四边形的最接近圆的外接椭圆The Most Nearly Circular Ellipse Circu
mscribing a Quadrilateral
一个已知四边形的所有外接椭圆中，哪一个与圆的偏差最小？
第25题圆锥曲线的曲率The Curvature of Conic Sections
确定一个圆锥曲线的曲率。
第26题阿基米德对抛物线面积的推算Archimedes' Squaring of a Parabola
确定包含在抛物线内的面积。
第27题推算双曲线的面积Squaring a Hyperbola
确定双曲线被截得的部分所含的面积。
第28题求抛物线的长Rectification of a Parabola
确定抛物线弧的长度。
第29题笛沙格同调定理（同调三角形定理）Desargues' Homology Theorem
(Theorem of Homologous Triangles)
如果两个三角形的对应顶点连线通过一点，则这两个三角形的对应边交点位于一条直
线上。反之，如果两个三角形的对应边交点位于一条直线上，则这两个三角形的对应顶
点连线通过一点。
第30题斯坦纳的二重元素作图法Steiner's Double Element Construction
由三对对应元素所给定的重迭射影形，作出它的二重元素。
第31题帕斯卡六边形定理Pascal's Hexagon Theorem
求证内接于圆锥曲线的六边形中，三双对边的交点在一直线上。
第32题布里昂匈六线形定理Brianchon's Hexagram Theorem
求证外切于圆锥曲线的六线形中，三条对顶线通过一点。
第33题笛沙格对合定理Desargues' Involution Theorem
一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一
个对合的四个点偶。一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该
四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶。
*一个完全四点形（四线形）实际上含有四点（线）1，2，3，4和它们的六条连线交
点23，14，31，24，12，34；其中23与14、31与24、12与34称为对边（对顶点）。
第34题由五个元素得到的圆锥曲线A Conic Section from Five Elements
求作一个圆锥曲线，它的五个元素——点和切线——是已知的。
第35题一条圆锥曲线和一条直线A Conic Section and a Straight Line
一条已知直线与一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线相交，求作它们
的交点。
第36题一条圆锥曲线和一定点A Conic Section and a Point
已知一点及一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线，作出从该点列到该
曲线的切线。
第37题斯坦纳的用平面分割空间Steiner's Division of Space by Planes
n个平面最多可将整个空间分割成多少份？
第38题欧拉四面体问题Euler's Tetrahedron Problem
以六条棱表示四面体的体积。
第39题偏斜直线之间的最短距离The Shortest Distance Between Skew Lines
计算两条已知偏斜直线之间的角和距离。
第40题四面体的外接球The Sphere Circumscribing a Tetrahedron
确定一个已知所有六条棱的四面体的外接球的半径。

我只知道这么多，对不起。

B. 最著名的数学题是什么

挫眨艺吝
啊·

C. 笛沙格定理的简介

笛沙格定理
1、笛沙格同调定理（同调三角形定理）Desargues' Homology Theorem (Theorem of Homologous Triangles)
平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。
P.S:其逆定理也成立
笛沙格对合定理Desargues' Involution Theorem
一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一个对合的四个点偶. 一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶合.
一个完全四点形（四线形）实际上含有四点（线）1，2，3，4和它们的六条连线交点23，14，31，24，12，34；其中23与14、31与24、12与34称为对边（对顶点）.
笛沙格研究了两空间笛沙格构图成透射时的透射比问题,它是继两空间笛沙格构图成透射的条件及透射定位参数的确定问题之后,针对透射参数的研究.在过去研究工作基础上,运用几何分析方法,得到了求两空间笛沙格构图成透射时的透射比的计算公式,给出精确计算结果.将两空间笛沙格构图成透射的参数补齐.得到的透射比公式中含有耦合配位三角形中的几何关系,使透射比的表达更加简明.

D. 数学智力问题

如果点燃一根绳子，烧完要一柱香的时间，那么怎么确定半柱香的时间？

有本杂志叫《求学》，它每期都有10道智力数学问题，希望能对你有所帮助。

（从两头燃起）

E. 有没有一些关于初一下学期的一些有价值的数学题目啊,重重有赏哦

一、填空题（1×28=28）
1、下列代数式中：①3x+5y ②x2+2x+y2 ③0 ④-xy2 ⑤3x=0 ⑥ 单项式有 _____个，多项式有_____ 个.
2、单项式-7a2bc的系数是______, 次数是______.
3、多项式3a2b2-5ab2+a2-6是_____次_____项式，其中常数项是_______.
4、 3b2m•(_______)=3b4m+1 -(x-y)5(x-y)4=________ (-2a2b)2÷(_______)=2a
5、 (-2m+3)(_________)=4m2-9 (-2ab+3)2=_____________
6、如果∠1与∠2互为补角，∠1=72º,∠2=_____º ,若∠3=∠1 ，则∠3的补角为_______º ，理由是__________________________.
7、在左图中，若∠A+∠B=180º，∠C=65º，则∠1=_____º,
A 2 D ∠2=______º.

B C
8、在生物课上，老师告诉同学们：“微生物很小，枝原体直径只有0.1微米”，这相当于________________米(1米=106微米，请用科学记数法表示).
9、在进行小组自编自答活动时,小芳给小组成员出了这样一道题,题目:我国古代数学家祖冲之发现了圆周率π=3.1415926……，取近似值为3.14，是精确到_______位,有______个有效数字,而小明出的题是:如果一年按365天计算,那么,一年就有31536000秒,精确到万位时,近似数是_____________秒,有______个有效数字.
10、小明、小刚、小亮三人正在做游戏，现在要从他们三人中选出一人去帮王奶奶干活，则P（小明被选中）= ________ , P（小明未被选中）=________.
11、随意掷出一枚骰子，计算下列事件发生的概率标在下图中.
⑴、掷出的点数是偶数 ⑵、掷出的点数小于7
⑶、掷出的点数为两位数 ⑷、掷出的点数是2的倍数

0 1/2 1
不可能发生必然发生

二、选择题（2×7=14）
1、今天数学课上，老师讲了多项式的加减，放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真的复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：（-x2+3xy- y2）-（- x2+4xy- y2）=
- x2_____+y2空格的地方被钢笔水弄污了，那么空格中的一项是（）
A 、-7xy B、7xy C、-xy D、xy
2、下列说法中，正确的是（）
A、一个角的补角必是钝角 B、两个锐角一定互为余角
C、直角没有补角 D、如果∠MON=180º,那么M、O、N三点在一条直线上
3、数学课上老师给出下面的数据，（）是精确的
A、 2022年美国在阿富汗的战争每月耗费10亿美元
B、地球上煤储量为5万亿吨以上
C、人的大脑有1×1010个细胞
D、这次半期考试你得了92分
4、一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（）
A、 B、
C、 D、
5、已知：∣x∣=1,∣y∣= ,则（x20）3-x3y2的值等于（）
A、- 或- B、或 C、 D、-
6、下列条件中不能得出a‖b 的是（） c
A、∠2=∠6 B、∠3+∠5=180º 1 2 a
C、∠4+∠6=180º D、∠2=∠8 5 6 b

7、下面四个图形中∠1与∠2是对顶角的图形有（）个
A、0 B、1 C、2 D、3

三、计算题（4×8=32）
⑴ -3(x2-xy)-x(-2y+2x) ⑵ (-x5)•x3n-1+x3n•(-x)4

⑶ (x+2)(y+3)-(x+1)(y-2) ⑷ (-2m2n)3•mn+(-7m7n12)0-2(mn)-4•m11•n8

⑸ (5x2y3-4x3y2+6x)÷6x,其中x=-2,y=2 ⑹ (3mn+1)(3mn-1)-(3mn-2)2

用乘法公式计算：
⑺ 9992-1 ⑻ 20222

四、推理填空（1×7=7）
A 已知：如图，DG⊥BC AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2
E 求证：CD⊥AB
F 证明：∵DG⊥BC,AC⊥BC(___________)
D ∴∠DGB=∠ACB=90º(垂直的定义)
∴DG‖AC（_____________________）
B C ∴∠2=_____(_____________________)
∵∠1=∠2(__________________) ∴∠1=∠DCA(等量代换)
∴EF‖CD(______________________) ∴∠AEF=∠ADC(____________________)
∵EF⊥AB ∴∠AEF=90º ∴∠ADC=90º 即CD⊥AB

五、解答题（1题6分，2题6分，3题⑴2分,⑵2分，⑶3分，总19分）
1、小康村正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，现将它每边都增加3米，面积则增加了63平方米，问原绿地的边长为多少？原绿地的面积又为多少？

2、已知：如图，AB‖CD，FG‖HD，∠B=100º，FE为∠CEB的平分线，
求∠EDH的度数.
A F C
E
B H
G
D

3、下图是明明作的一周的零用钱开支的统计图(单位:元）

分析上图，试回答以下问题：
⑴、周几明明花的零用钱最少？是多少？他零用钱花得最多的一天用了多少？
⑵、哪几天他花的零用钱是一样的？分别为多少？
⑶、你能帮明明算一算他一周平均每天花的零用钱吗？
能力测试卷（50分）
（B卷）
一、填空题（3×6=18）
1、房间里有一个从外表量长a米、宽b米、高c米的长方形木箱子，已知木板的厚度为x米，那么这个木箱子的容积是________________米3.(不展开)
2、式子4-a2-2ab-b2的最大值是_______.
3、若2×8n×16n=222,则n=________.
4、已知则 =__________.
5、一个小男孩掷一枚均匀的硬币两次，则两次均朝上的概率为_________.
6、 A 如图,∠ABC=40º,∠ACB=60º,BO、CO平分∠ABC和∠ACB，
D E DE过O点，且DE‖BC，则∠BOC=_______º.
B C

二、选择题（3×4=12）
1、一个角的余角是它的补角的，则这个角为（）
A、60º B、45º C、30º D、90º
2、对于一个六次多项式，它的任何一项的次数（）
A、都小于6 B、都等于6 C、都不小于6 D、都不大于6
3、式子-mn与(-m)n的正确判断是（）
A、这两个式子互为相反数 B、这两个式子是相等的
C、当n为奇数时，它们互为相反数；n为偶数时它们相等
D、当n为偶数时，它们互为相反数；n为奇数时它们相等
4、已知两个角的对应边互相平行，这两个角的差是40º，则这两个角是（）
A、140º和100º B、110º和70º C、70º和30º D、150º和110º

四、解答题（7×2=14）
1、若多项式x2+ax+8和多项式x2-3x+b相乘的积中不含x2、x3项，求(a-b)3-(a3-b3)的值.
第01题阿基米德分牛问题Archimedes' Problema Bovinum 太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成.
在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7.
在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7.
问这牛群是怎样组成的？第02题德．梅齐里亚克的法码问题The Weight Problem of Bachet de Meziriac 一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物.
问这4块砝码碎片各重多少？第03题牛顿的草地与母牛问题Newton's Problem of the Fields and Cows a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了；
a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了；
a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了；
求出从a到c"9个数量之间的关系？第04题贝韦克的七个7的问题Berwick's Problem of the Seven Sevens 在下面除法例题中，被除数被除数除尽：
* * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * *
* * * * * *
* * * * * 7 *
* * * * * * *
* 7 * * * *
* 7 * * * *
* * * * * * *
* * * * 7 * *
* * * * * *
* * * * * *
用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？第05题柯克曼的女学生问题Kirkman's Schoolgirl Problem 某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每个女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？第06题伯努利-欧拉关于装错信封的问题The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddressed letters 求n个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置. 第07题欧拉关于多边形的剖分问题Euler's Problem of Polygon Division 可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形？第08题鲁卡斯的配偶夫妇问题Lucas' Problem of the Married Couples n对夫妇围圆桌而坐，其座次是两个妇人之间坐一个男人，而没有一个男人和自己的妻子并坐，问有多少种坐法？第09题卡亚姆的二项展开式Omar Khayyam's Binomial Expansion 当n是任意正整数时，求以a和b的幂表示的二项式a+b的n次幂. 第10题柯西的平均值定理Cauchy's Mean Theorem 求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值. 第11题伯努利幂之和的问题Bernoulli's Power Sum Problem 确定指数p为正整数时最初n个自然数的p次幂的和S=1p+2p+3p+…+np. 第12题欧拉数The Euler Number 求函数φ(x)=(1+1/x)x及Φ(x)=(1+1/x)x+1当x无限增大时的极限值. 第13题牛顿指数级数Newton's Exponential Series 将指数函数ex变换成各项为x的幂的级数. 第14题麦凯特尔对数级数Nicolaus Mercator's Logarithmic Series 不用对数表，计算一个给定数的对数. 第15题牛顿正弦及余弦级数Newton's Sine and Cosine Series 不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数. 第16题正割与正切级数的安德烈推导法Andre's Derivation of the Secant and Tangent Series 在n个数1，2，3，…,n的一个排列c1，c2，…，cn中，如果没有一个元素ci的值介于两个邻近的值ci-1和ci+1之间，则称c1，c2，…，cn为1，2，3，…,n的一个屈折排列.
试利用屈折排列推导正割与正切的级数. 第17题格雷戈里的反正切级数Gregory's Arc Tangent Series 已知三条边，不用查表求三角形的各角. 第18题德布封的针问题Buffon's Needle Problem 在台面上画出一组间距为d的平行线，把长度为l（小于d）的一根针任意投掷在台面上，问针触及两平行线之一的概率如何？第19题费马-欧拉素数定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem 每个可表示为4n+1形式的素数，只能用一种两数平方和的形式来表示. 第20题费马方程The Fermat Equation 求方程x2－dy2=1的整数解，其中d为非二次正整数. 第21题费马-高斯不可能性定理The Fermat-Gauss Impossibility Theorem 证明两个立方数的和不可能为一立方数. 第22题二次互反律The Quadratic Reciprocity Law （欧拉-勒让德-高斯定理）奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式
（p/q）．（q/p）=（－1）[(p-1)/2]．[(q-1)/2]. 第23题高斯的代数基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Algebra 每一个n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n个根. 第24题斯图谟的根的个数问题Sturm's Problem of the Number of Roots 求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数. 第25题阿贝尔不可能性定理Abel's Impossibility Theorem 高于四次的方程一般不可能有代数解法. 第26题赫米特-林德曼超越性定理The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem 系数A不等于零，指数α为互不相等的代数数的表达式A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不可能等于零. 第27题欧拉直线Euler's Straight Line 在所有三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上，而且三点的分隔为：各高线的交点（垂心）至各中线的交点（重心）的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离. 第28题费尔巴哈圆The Feuerbach Circle 三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上. 第29题卡斯蒂朗问题Castillon's Problem 将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆. 第30题马尔法蒂问题Malfatti's Problem 在一个已知三角形内画三个圆，每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切. 第31题蒙日问题Monge's Problem 画一个圆，使其与三已知圆正交. 第32题阿波洛尼斯相切问题The Tangency Problem of Apollonius. 画一个与三个已知圆相切的圆. 第33题马索若尼圆规问题Macheroni's Compass Problem. 证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出. 第34题斯坦纳直尺问题Steiner's Straight-edge Problem 证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图，如果在平面内给出一个定圆，只用直尺便可作出. 第35题德里安倍立方问题The Deliaii Cube-doubling Problem 画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边. 第36题三等分一个角Trisection of an Angle 把一个角分成三个相等的角. 第37题正十七边形The Regular Heptadecagon 画一正十七边形. 第38题阿基米德π值确定法Archimedes' Determination of the Number Pi 设圆的外切和内接正2vn边形的周长分别为av和bv，便依次得到多边形周长的阿基米德数列：a0，b0，a1，b1，a2，b2，…其中av+1是av、bv的调和中项，bv+1是bv、av+1的等比中项. 假如已知初始两项，利用这个规则便能计算出数列的所有项. 这个方法叫作阿基米德算法. 第39题富斯弦切四边形问题Fuss' Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral 找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系.（注：一个双心或弦切四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形）第40题测量附题Annex to a Survey 利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置. 第41题阿尔哈森弹子问题Alhazen's Billiard Problem 在一个已知圆内，作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形. 第42题由共轭半径作椭圆An Ellipse from Conjugate Radii 已知两个共轭半径的大小和位置，作椭圆. 第43题在平行四边形内作椭圆An Ellipse in a Parallelogram, 在规定的平行四边形内作一内切椭圆，它与该平行四边形切于一边界点. 第44题由四条切线作抛物线A Parabola from Four Tangents 已知抛物线的四条切线，作抛物线. 第45题由四点作抛物线A Parabola from Four Points. 过四个已知点作抛物线. 第46题由四点作双曲线A Hyperbola from Four Points. 已知直角（等轴）双曲线上四点，作出这条双曲线. 第47题范．施古登轨迹题Van Schooten's Locus Problem 平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动，第三个顶点的轨迹是什么？第48题卡丹旋轮问题Cardan's Spur Wheel Problem. 一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时，这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么？第49题牛顿椭圆问题Newton's Ellipse Problem. 确定内切于一个已知（凸）四边形的所有椭圆的中心的轨迹. 第50题彭赛列-布里昂匈双曲线问题The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem 确定内接于直角（等边）双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹. 第51题作为包络的抛物线A Parabola as Envelope 从角的顶点，在角的一条边上连续n次截取任意线段e，在另一条边上连续n次截取线段f，并将线段的端点注以数字，从顶点开始，分别为0，1，2，…，n和n，n－1，…，2，1，0.
求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线. 第52题星形线The Astroid 直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动，求这条直线的包络. 第53题斯坦纳的三点内摆线Steiner's Three-pointed Hypocycloid 确定一个三角形的华莱士（Wallace）线的包络. 第54题一个四边形的最接近圆的外接椭圆The Most Nearly Circular Ellipse Circumscribing a Quadrilateral 一个已知四边形的所有外接椭圆中，哪一个与圆的偏差最小？第55题圆锥曲线的曲率The Curvature of Conic Sections 确定一个圆锥曲线的曲率. 第56题阿基米德对抛物线面积的推算Archimedes' Squaring of a Parabola 确定包含在抛物线内的面积. 第57题推算双曲线的面积Squaring a Hyperbola 确定双曲线被截得的部分所含的面积. 第58题求抛物线的长Rectification of a Parabola 确定抛物线弧的长度. 第59题笛沙格同调定理（同调三角形定理）Desargues' Homology Theorem (Theorem of Homologous Triangles) 如果两个三角形的对应顶点连线通过一点，则这两个三角形的对应边交点位于一条直线上.
反之，如果两个三角形的对应边交点位于一条直线上，则这两个三角形的对应顶点连线通过一点. 第60题斯坦纳的二重元素作图法Steiner's Double Element Construction 由三对对应元素所给定的重迭射影形，作出它的二重元素. 第61题帕斯卡六边形定理Pascal's Hexagon Theorem 求证内接于圆锥曲线的六边形中，三双对边的交点在一直线上. 第62题布里昂匈六线形定理Brianchon's Hexagram Theorem 求证外切于圆锥曲线的六线形中，三条对顶线通过一点. 第63题笛沙格对合定理Desargues' Involution Theorem 一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一个对合的四个点偶. 一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶.
*一个完全四点形（四线形）实际上含有四点（线）1，2，3，4和它们的六条连线交点23，14，31，24，12，34；其中23与14、31与24、12与34称为对边（对顶点）. 第64题由五个元素得到的圆锥曲线A Conic Section from Five Elements 求作一个圆锥曲线，它的五个元素——点和切线——是已知的. 第65题一条圆锥曲线和一条直线A Conic Section and a Straight Line 一条已知直线与一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线相交，求作它们的交点. 第66题一条圆锥曲线和一定点A Conic Section and a Point 已知一点及一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线，作出从该点列到该曲线的切线. 第67题斯坦纳的用平面分割空间Steiner's Division of Space by Planes n个平面最多可将整个空间分割成多少份？第68题欧拉四面体问题Euler's Tetrahedron Problem 以六条棱表示四面体的体积. 第69题偏斜直线之间的最短距离The Shortest Distance Between Skew Lines 计算两条已知偏斜直线之间的角和距离. 第70题四面体的外接球The Sphere Circumscribing a Tetrahedron 确定一个已知所有六条棱的四面体的外接球的半径. 第71题五种正则体The Five Regular Solids 将一个球面分成全等的球面正多边形. 第72题正方形作为四边形的一个映象The Square as an Image of a Quadrilateral 证明每个四边形都可以看作是一个正方形的透视映象. 第73题波尔凯-许瓦尔兹定理The Pohlke-Schwartz Theorem 一个平面上不全在同一条直线上的四个任意点，可认为是与一个已知四面体相似的四面体的各隅角的斜映射. 第74题高斯轴测法基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Axonometry 正轴测法的高斯基本定理：如果在一个三面角的正投影中，把映象平面作为复平面，三面角顶点的投影作为零点，边的各端点的投影作为平面的复数，那么这些数的平方和等于零. 第75题希帕查斯球极平面射影Hipparchus' Stereographic Projection 试举出一种把地球上的圆转换为地图上圆的保形地图射影法. 第76题麦卡托投影The Mercator Projection 画一个保形地理地图，其坐标方格是由直角方格组成的. 第77题航海斜驶线问题The Problem of the Loxodrome 确定地球表面两点间斜驶线的经度. 第78题海上船位置的确定Determining the Position of a Ship at Sea 利用天文经线推算法确定船在海上的位置. 第79题高斯双高度问题Gauss' Two-Altitude Problem 根据已知两星球的高度以确定时间及位置. 第80题高斯三高度问题Gauss' Three-Altitude Problem 从在已知三星球获得同高度瞬间的时间间隔，确定观察瞬间，观察点的纬度及星球的高度. 第81题刻卜勒方程The Kepler Equation 根据行星的平均近点角，计算偏心及真近点角. 第82题星落Star Setting 对给定地点和日期，计算一已知星落的时间和方位角. 第83题日晷问题The Problem of the Sundial 制作一个日晷. 第84题日影曲线The Shadow Curve 当直杆置于纬度φ的地点及该日太阳的赤纬有δ值时，确定在一天过程中由杆的一点投影所描绘的曲线. 第85题日食和月食Solar and Lunar Eclipses 如果对于充分接近日食时间的两个瞬间太阳和月亮的赤经、赤纬以及其半径均为已知，确定日食的开始和结束，以及太阳表面被隐蔽部分的最大值. 第86题恒星及会合运转周期Sidereal and Synodic Revolution Periods 确定已知恒星运转周期的两共面旋转射线的会合运转周期. 第87题行星的顺向和逆向运动Progressive and Retrograde Motion of Planets 行星什么时候从顺向转为逆向运动（或反过来，从逆向转为顺向运动）？第88题兰伯特慧星问题Lambert's Comet Prolem 借助焦半径及连接弧端点的弦，来表示慧星描绘抛物线轨道的一段弧所需的时间. 第89题与欧拉数有关的斯坦纳问题Steiner's Problem Concerning the Euler Number 如果x为正变数，x取何值时，x的x次方根为最大？第90题法格乃诺关于高的基点的问题Fagnano's Altitude Base Point Problem 在已知锐角三角形中，作周长最小的内接三角形. 第91题费马对托里拆利提出的问题Fermat's Problem for Torricelli 试求一点，使它到已知三角形的三个顶点距离之和为最小. 第92题逆风变换航向Tacking Under a Headwind 帆船如何能顶着北风以最快的速度向正北航行？第93题蜂巢（雷阿乌姆尔问题）The Honeybee Cell (Problem by Reaumur) 试采用由三个全等的菱形作成的顶盖来封闭一个正六棱柱，使所得的这一个立体有预定的容积，而其表面积为最小. 第94题雷奇奥莫塔努斯的极大值问题Regiomontanus' Maximum Problem 在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？（即在什么部位，可见角为最大？）第95题金星的最大亮度The Maximum Brightness of Venus 在什么位置金星有最大亮度？第96题地球轨道内的慧星A Comet Inside the Earth's Orbit 慧星在地球的轨道内最多能停留多少天？第97题最短晨昏蒙影问题The Problem of the Shortest Twilight 在已知纬度的地方，一年之中的哪一天晨昏蒙影最短？第98题斯坦纳的椭圆问题Steiner's Ellipse Problem 在所有能外接（内切）于一个已知三角形的椭圆中，哪一个椭圆有最小（最大）的面积？第99题斯坦纳的圆问题Steiner's Circle Problem 在所有等周的（即有相等周长的）平面图形中，圆有最大的面积.
反之：在有相等面积的所有平面图形中，圆有最小的周长. 第100题斯坦纳的球问题Steiner's Sphere Problem 在表面积相等的所有立体中，球具有最大体积.
在体积相等的所有立体中，球具有最小的表面.

F. 求“5000年数学文明史中的100道数学难题”的原题.

锻炼你思维的100道数学题

100个著名初等数学问题

第01题阿基米德分牛问题Archimedes Problema Bovinum

太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成.
在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛数
，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1
/7.
在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是
全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7.
问这牛群是怎样组成的？
第02题德·梅齐里亚克的法码问题The Weight Problem of Bachet de Meziriac

一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都
是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物.
问这4块砝码碎片各重多少？

第03题牛顿的草地与母牛问题Newton s Problem of the Fields and Cows

a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了；
a 头母牛将b 块地上的牧草在c 天内吃完了；
a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了；
求出从a到c"9个数量之间的关系？

第04题贝韦克的七个7的问题Berwick s Problem of the Seven Sevens

在下面除法例题中，被除数被除数除尽：
* * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * *
* * * * * *
* * * * * 7 *
* * * * * * *
* 7 * * * *
* 7 * * * *
* * * * * * *
* * * * 7 * *
* * * * * *
* * * * * *
用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？

第05题柯克曼的女学生问题Kirkman s Schoolgirl Problem

某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每个
女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？

第06题伯努利-欧拉关于装错信封的问题The Bernoulli-Euler Problem of the Misad
dressed letters

求n个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置.

第07题欧拉关于多边形的剖分问题Euler s Problem of Polygon Division

可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形？

第08题鲁卡斯的配偶夫妇问题Lucas Problem of the Married Couples

n对夫妇围圆桌而坐，其座次是两个妇人之间坐一个男人，而没有一个男人和自己的妻
子并坐，问有多少种坐法？

第09题卡亚姆的二项展开式Omar Khayyam s Binomial Expansion

当n是任意正整数时，求以a和b的幂表示的二项式a+b的n次幂.

第10题柯西的平均值定理Cauchy s Mean Theorem

求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值.

第11题伯努利幂之和的问题Bernoulli s Power Sum Problem

确定指数p为正整数时最初n个自然数的p次幂的和S=1p+2p+3p+…+np.

第12题欧拉数The Euler Number

求函数φ(x)=(1+1/x)x及Φ(x)=(1+1/x)x+1当x无限增大时的极限值.

第13题牛顿指数级数Newton s Exponential Series

将指数函数ex变换成各项为x的幂的级数.

第14题麦凯特尔对数级数Nicolaus Mercator s Logarithmic Series

不用对数表，计算一个给定数的对数.

第15题牛顿正弦及余弦级数Newton s Sine and Cosine Series

不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数.

第16题正割与正切级数的安德烈推导法Andre s Derivation of the Secant and Tang
ent Series
在n个数1，2，3，…,n的一个排列c1，c2，…，cn中，如果没有一个元素ci的值介于
两个邻近的值ci-1和ci+1之间，则称c1，c2，…，cn为1，2，3，…,n的一个屈折排列.

试利用屈折排列推导正割与正切的级数.

第17题格雷戈里的反正切级数Gregory s Arc Tangent Series

已知三条边，不用查表求三角形的各角.

第18题德布封的针问题Buffon s Needle Problem

在台面上画出一组间距为d的平行线，把长度为l（小于d）的一根针任意投掷在台面上
，问针触及两平行线之一的概率如何？

第19题费马-欧拉素数定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem

每个可表示为4n+1形式的素数，只能用一种两数平方和的形式来表示.

第20题费马方程The Fermat Equation

求方程x2－dy2=1的整数解，其中d为非二次正整数.

第21题费马-高斯不可能性定理The Fermat-Gauss Impossibility Theorem

证明两个立方数的和不可能为一立方数.

第22题二次互反律The Quadratic Reciprocity Law

（欧拉-勒让德-高斯定理）奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式
（p/q）·（q/p）=（－1）[(p-1)/2]·[(q-1)/2].

第23题高斯的代数基本定理Gauss Fundamental Theorem of Algebra

每一个n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n个根.

第24题斯图谟的根的个数问题Sturm s Problem of the Number of Roots

求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数.

第25题阿贝尔不可能性定理Abel s Impossibility Theorem

高于四次的方程一般不可能有代数解法.

第26题赫米特-林德曼超越性定理The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem

系数A不等于零，指数α为互不相等的代数数的表达式A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不可
能等于零.

第27题欧拉直线Euler s Straight Line

在所有三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上，
而且三点的分隔为：各高线的交点（垂心）至各中线的交点（重心）的距离两倍于外接圆
的圆心至各中线的交点的距离.

第28题费尔巴哈圆The Feuerbach Circle

三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一
个圆上.

第29题卡斯蒂朗问题Castillon s Problem

将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆.

第30题马尔法蒂问题Malfatti s Problem

在一个已知三角形内画三个圆，每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切.

第31题蒙日问题Monge s Problem

画一个圆，使其与三已知圆正交.

第32题阿波洛尼斯相切问题The Tangency Problem of Apollonius.

画一个与三个已知圆相切的圆.

第33题马索若尼圆规问题Macheroni s Compass Problem.

证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出.

第34题斯坦纳直尺问题Steiner s Straight-edge Problem

证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图，如果在平面内给出一个定圆，只用直尺便
可作出.

第35题德里安倍立方问题The Deliaii Cube-doubling Problem

画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边.

第36题三等分一个角Trisection of an Angle

把一个角分成三个相等的角.

第37题正十七边形The Regular Heptadecagon

画一正十七边形.

第38题阿基米德π值确定法Archimedes Determination of the Number Pi

设圆的外切和内接正2vn边形的周长分别为av和bv，便依次得到多边形周长的阿基米德
数列：a0，b0，a1，b1，a2，b2，…其中av+1是av、bv的调和中项，bv+1是bv、av+1的等
比中项. 假如已知初始两项，利用这个规则便能计算出数列的所有项. 这个方法叫作阿基
米德算法.

第39题富斯弦切四边形问题Fuss Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral

找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系.（注：一个双心或弦切四
边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形）

第40题测量附题Annex to a Survey

利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置.

第41题阿尔哈森弹子问题Alhazen s Billiard Problem

在一个已知圆内，作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形.

第42题由共轭半径作椭圆An Ellipse from Conjugate Radii

已知两个共轭半径的大小和位置，作椭圆.

第43题在平行四边形内作椭圆An Ellipse in a Parallelogram,

在规定的平行四边形内作一内切椭圆，它与该平行四边形切于一边界点.

第44题由四条切线作抛物线A Parabola from Four Tangents

已知抛物线的四条切线，作抛物线.

第45题由四点作抛物线A Parabola from Four Points.

过四个已知点作抛物线.

第46题由四点作双曲线A Hyperbola from Four Points.

已知直角（等轴）双曲线上四点，作出这条双曲线.

第47题范·施古登轨迹题Van Schooten s Locus Problem

平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动，第三个顶点的轨迹是
什么？

第48题卡丹旋轮问题Cardan s Spur Wheel Problem.

一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时，这个圆盘上标定的一点所描
出的轨迹是什么？

第49题牛顿椭圆问题Newton s Ellipse Problem.

确定内切于一个已知（凸）四边形的所有椭圆的中心的轨迹.

To dream the impossible dream
To beat the unbeatable foes
To right the unrightable wrongs
and when my arms are weary
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第50题彭赛列-布里昂匈双曲线问题The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem

确定内接于直角（等边）双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹.
第51题作为包络的抛物线A Parabola as Envelope

从角的顶点，在角的一条边上连续n次截取任意线段e，在另一条边上连续n次截取线段
f，并将线段的端点注以数字，从顶点开始，分别为0，1，2，…，n和n，n－1，…，2，1
，0.
求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线.

第52题星形线The Astroid

直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动，求这条直线的包络.

第53题斯坦纳的三点内摆线Steiner s Three-pointed Hypocycloid

确定一个三角形的华莱士（Wallace）线的包络.

第54题一个四边形的最接近圆的外接椭圆The Most Nearly Circular Ellipse Circum
scribing a Quadrilateral

一个已知四边形的所有外接椭圆中，哪一个与圆的偏差最小？

第55题圆锥曲线的曲率The Curvature of Conic Sections

确定一个圆锥曲线的曲率.

第56题阿基米德对抛物线面积的推算Archimedes Squaring of a Parabola

确定包含在抛物线内的面积.

第57题推算双曲线的面积Squaring a Hyperbola

确定双曲线被截得的部分所含的面积.

第58题求抛物线的长Rectification of a Parabola

确定抛物线弧的长度.

第59题笛沙格同调定理（同调三角形定理）Desargues Homology Theorem (Theorem
of Homologous Triangles)

如果两个三角形的对应顶点连线通过一点，则这两个三角形的对应边交点位于一条直
线上.
反之，如果两个三角形的对应边交点位于一条直线上，则这两个三角形的对应顶点连
线通过一点.

第60题斯坦纳的二重元素作图法Steiner s Double Element Construction

由三对对应元素所给定的重迭射影形，作出它的二重元素.

第61题帕斯卡六边形定理Pascal s Hexagon Theorem

求证内接于圆锥曲线的六边形中，三双对边的交点在一直线上.

第62题布里昂匈六线形定理Brianchon s Hexagram Theorem

求证外切于圆锥曲线的六线形中，三条对顶线通过一点.

第63题笛沙格对合定理Desargues Involution Theorem

一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一个
对合的四个点偶. 一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该四线
形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶.
*一个完全四点形（四线形）实际上含有四点（线）1，2，3，4和它们的六条连线交点
23，14，31，24，12，34；其中23与14、31与24、12与34称为对边（对顶点）.

第64题由五个元素得到的圆锥曲线A Conic Section from Five Elements

求作一个圆锥曲线，它的五个元素——点和切线——是已知的.

第65题一条圆锥曲线和一条直线A Conic Section and a Straight Line

一条已知直线与一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线相交，求作它们
的交点.

第66题一条圆锥曲线和一定点A Conic Section and a Point

已知一点及一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线，作出从该点列到该
曲线的切线.

第67题斯坦纳的用平面分割空间Steiner s Division of Space by Planes

n个平面最多可将整个空间分割成多少份？

第68题欧拉四面体问题Euler s Tetrahedron Problem

以六条棱表示四面体的体积.

第69题偏斜直线之间的最短距离The Shortest Distance Between Skew Lines

计算两条已知偏斜直线之间的角和距离.

第70题四面体的外接球The Sphere Circumscribing a Tetrahedron

确定一个已知所有六条棱的四面体的外接球的半径.

第71题五种正则体The Five Regular Solids

将一个球面分成全等的球面正多边形.

第72题正方形作为四边形的一个映象The Square as an Image of a Quadrilateral

证明每个四边形都可以看作是一个正方形的透视映象.

第73题波尔凯-许瓦尔兹定理The Pohlke-Schwartz Theorem

一个平面上不全在同一条直线上的四个任意点，可认为是与一个已知四面体相似的四
面体的各隅角的斜映射.

第74题高斯轴测法基本定理Gauss Fundamental Theorem of Axonometry

正轴测法的高斯基本定理：如果在一个三面角的正投影中，把映象平面作为复平面，
三面角顶点的投影作为零点，边的各端点的投影作为平面的复数，那么这些数的平方和等
于零.

第75题希帕查斯球极平面射影Hipparchus Stereographic Projection

试举出一种把地球上的圆转换为地图上圆的保形地图射影法.

第76题麦卡托投影The Mercator Projection

画一个保形地理地图，其坐标方格是由直角方格组成的.

第77题航海斜驶线问题The Problem of the Loxodrome

确定地球表面两点间斜驶线的经度.

第78题海上船位置的确定Determining the Position of a Ship at Sea

利用天文经线推算法确定船在海上的位置.

第79题高斯双高度问题Gauss Two-Altitude Problem

根据已知两星球的高度以确定时间及位置.

第80题高斯三高度问题Gauss Three-Altitude Problem

从在已知三星球获得同高度瞬间的时间间隔，确定观察瞬间，观察点的纬度及星球的
高度.

第81题刻卜勒方程The Kepler Equation

根据行星的平均近点角，计算偏心及真近点角.

第82题星落Star Setting

对给定地点和日期，计算一已知星落的时间和方位角.

第83题日晷问题The Problem of the Sundial

制作一个日晷.

第84题日影曲线The Shadow Curve

当直杆置于纬度φ的地点及该日太阳的赤纬有δ值时，确定在一天过程中由杆的一点
投影所描绘的曲线.

第85题日食和月食Solar and Lunar Eclipses

如果对于充分接近日食时间的两个瞬间太阳和月亮的赤经、赤纬以及其半径均为已知
，确定日食的开始和结束，以及太阳表面被隐蔽部分的最大值.

第86题恒星及会合运转周期Sidereal and Synodic Revolution Periods

确定已知恒星运转周期的两共面旋转射线的会合运转周期.

第87题行星的顺向和逆向运动Progressive and Retrograde Motion of Planets

行星什么时候从顺向转为逆向运动（或反过来，从逆向转为顺向运动）？

第88题兰伯特慧星问题Lambert s Comet Prolem

借助焦半径及连接弧端点的弦，来表示慧星描绘抛物线轨道的一段弧所需的时间.

第89题与欧拉数有关的斯坦纳问题Steiner s Problem Concerning the Euler Number

如果x为正变数，x取何值时，x的x次方根为最大？

第90题法格乃诺关于高的基点的问题Fagnano s Altitude Base Point Problem

在已知锐角三角形中，作周长最小的内接三角形.

第91题费马对托里拆利提出的问题Fermat s Problem for Torricelli

试求一点，使它到已知三角形的三个顶点距离之和为最小.

第92题逆风变换航向Tacking Under a Headwind

帆船如何能顶着北风以最快的速度向正北航行？

第93题蜂巢（雷阿乌姆尔问题）The Honeybee Cell (Problem by Reaumur)

试采用由三个全等的菱形作成的顶盖来封闭一个正六棱柱，使所得的这一个立体有预
定的容积，而其表面积为最小.

第94题雷奇奥莫塔努斯的极大值问题Regiomontanus Maximum Problem

在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？（即在什么部位，可见角为最大
？）

第95题金星的最大亮度The Maximum Brightness of Venus

在什么位置金星有最大亮度？

第96题地球轨道内的慧星A Comet Inside the Earth s Orbit

慧星在地球的轨道内最多能停留多少天？

第97题最短晨昏蒙影问题The Problem of the Shortest Twilight

在已知纬度的地方，一年之中的哪一天晨昏蒙影最短？

第98题斯坦纳的椭圆问题Steiner s Ellipse Problem

在所有能外接（内切）于一个已知三角形的椭圆中，哪一个椭圆有最小（最大）的面
积？

第99题斯坦纳的圆问题Steiner s Circle Problem

在所有等周的（即有相等周长的）平面图形中，圆有最大的面积.
反之：在有相等面积的所有平面图形中，圆有最小的周长.

第100题斯坦纳的球问题Steiner s Sphere Problem

在表面积相等的所有立体中，球具有最大体积.
在体积相等的所有立体中，球具有最小的表面.

G. 222道初一下学期数学题.

H. 历史名题

第01题阿基米德分牛问题Archimedes' Problema Bovinum

太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成.
在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7.
在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7.
问这牛群是怎样组成的？

第02题德·梅齐里亚克的法码问题The Weight Problem of Bachet de Meziriac

一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物.
问这4块砝码碎片各重多少？

第03题牛顿的草地与母牛问题Newton's Problem of the Fields and Cows

a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了；
a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了；
a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了；
求出从a到c"9个数量之间的关系？

第04题贝韦克的七个7的问题Berwick's Problem of the Seven Sevens

在下面除法例题中，被除数被除数除尽：
* * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * *
* * * * * *
* * * * * 7 *
* * * * * * *
* 7 * * * *
* 7 * * * *
* * * * * * *
* * * * 7 * *
* * * * * *
* * * * * *
用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？

第05题帕斯卡六边形定理Pascal's Hexagon Theorem

求证内接于圆锥曲线的六边形中，三双对边的交点在一直线上.

第06题布里昂匈六线形定理Brianchon's Hexagram Theorem

求证外切于圆锥曲线的六线形中，三条对顶线通过一点.

第07题笛沙格对合定理Desargues' Involution Theorem

一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一个对合的四个点偶. 一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶.
*一个完全四点形（四线形）实际上含有四点（线）1，2，3，4和它们的六条连线交点23，14，31，24，12，34；其中23与14、31与24、12与34称为对边（对顶点）.

第08题由五个元素得到的圆锥曲线A Conic Section from Five Elements

求作一个圆锥曲线，它的五个元素——点和切线——是已知的.

第09题一条圆锥曲线和一条直线A Conic Section and a Straight Line

一条已知直线与一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线相交，求作它们的交点.

第10题一条圆锥曲线和一定点A Conic Section and a Point

已知一点及一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线，作出从该点列到该曲线的切线.

第11题斯坦纳的用平面分割空间Steiner's Division of Space by Planes

n个平面最多可将整个空间分割成多少份？

第12题欧拉四面体问题Euler's Tetrahedron Problem

以六条棱表示四面体的体积.

第13题偏斜直线之间的最短距离The Shortest Distance Between Skew Lines

计算两条已知偏斜直线之间的角和距离.

第14题四面体的外接球The Sphere Circumscribing a Tetrahedron

确定一个已知所有六条棱的四面体的外接球的半径.

第15题五种正则体The Five Regular Solids

将一个球面分成全等的球面正多边形.

第16题正割与正切级数的安德烈推导法Andre's Derivation of the Secant and Tangent Series

在n个数1，2，3，…,n的一个排列c1，c2，…，cn中，如果没有一个元素ci的值介于两个邻近的值ci-1和ci+1之间，则称c1，c2，…，cn为1，2，3，…,n的一个屈折排列.
试利用屈折排列推导正割与正切的级数.

第17题格雷戈里的反正切级数Gregory's Arc Tangent Series

已知三条边，不用查表求三角形的各角.

第18题德布封的针问题Buffon's Needle Problem

在台面上画出一组间距为d的平行线，把长度为l（小于d）的一根针任意投掷在台面上，问针触及两平行线之一的概率如何？

第19题费马-欧拉素数定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem

每个可表示为4n+1形式的素数，只能用一种两数平方和的形式来表示.

第20题费马方程The Fermat Equation

求方程x2－dy2=1的整数解，其中d为非二次正整数.

第21题费马-高斯不可能性定理The Fermat-Gauss Impossibility Theorem

证明两个立方数的和不可能为一立方数.

第22题二次互反律The Quadratic Reciprocity Law

（欧拉-勒让德-高斯定理）奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式
（p/q）·（q/p）=（－1）[(p-1)/2]·[(q-1)/2].

第23题高斯的代数基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Algebra

每一个n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n个根.

第24题斯图谟的根的个数问题Sturm's Problem of the Number of Roots

求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数.

第25题阿贝尔不可能性定理Abel's Impossibility Theorem

高于四次的方程一般不可能有代数解法.

第26题赫米特-林德曼超越性定理The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem

系数A不等于零，指数α为互不相等的代数数的表达式A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不可能等于零.

第27题欧拉直线Euler's Straight Line

在所有三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上，而且三点的分隔为：各高线的交点（垂心）至各中线的交点（重心）的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离.

第28题费尔巴哈圆The Feuerbach Circle

三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上.

第29题卡斯蒂朗问题Castillon's Problem

将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆.

第30题马尔法蒂问题Malfatti's Problem

在一个已知三角形内画三个圆，每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切.

第31题蒙日问题Monge's Problem

画一个圆，使其与三已知圆正交.

第32题阿波洛尼斯相切问题The Tangency Problem of Apollonius.

画一个与三个已知圆相切的圆.

第33题马索若尼圆规问题Macheroni's Compass Problem.

证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出.

第34题斯坦纳直尺问题Steiner's Straight-edge Problem

证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图，如果在平面内给出一个定圆，只用直尺便可作出.

第35题德里安倍立方问题The Deliaii Cube-doubling Problem

画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边.

第36题三等分一个角Trisection of an Angle

把一个角分成三个相等的角.

第37题正十七边形The Regular Heptadecagon

画一正十七边形.

第38题阿基米德π值确定法Archimedes' Determination of the Number Pi

设圆的外切和内接正2vn边形的周长分别为av和bv，便依次得到多边形周长的阿基米德数列：a0，b0，a1，b1，a2，b2，…其中av+1是av、bv的调和中项，bv+1是bv、av+1的等比中项. 假如已知初始两项，利用这个规则便能计算出数列的所有项. 这个方法叫作阿基米德算法.

第39题富斯弦切四边形问题Fuss' Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral

找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系.（注：一个双心或弦切四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形）

第40题测量附题Annex to a Survey

利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置.

第41题阿尔哈森弹子问题Alhazen's Billiard Problem

在一个已知圆内，作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形.

第42题由共轭半径作椭圆An Ellipse from Conjugate Radii

已知两个共轭半径的大小和位置，作椭圆.

第43题在平行四边形内作椭圆An Ellipse in a Parallelogram,

在规定的平行四边形内作一内切椭圆，它与该平行四边形切于一边界点.

第44题由四条切线作抛物线A Parabola from Four Tangents

已知抛物线的四条切线，作抛物线.

第45题由四点作抛物线A Parabola from Four Points.

过四个已知点作抛物线.

第46题由四点作双曲线A Hyperbola from Four Points.

已知直角（等轴）双曲线上四点，作出这条双曲线.

第47题范·施古登轨迹题Van Schooten's Locus Problem

平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动，第三个顶点的轨迹是什么？

第48题卡丹旋轮问题Cardan's Spur Wheel Problem.

一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时，这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么？

第49题牛顿椭圆问题Newton's Ellipse Problem.

确定内切于一个已知（凸）四边形的所有椭圆的中心的轨迹.

第50题彭赛列-布里昂匈双曲线问题The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem

确定内接于直角（等边）双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹.

第51题作为包络的抛物线A Parabola as Envelope

从角的顶点，在角的一条边上连续n次截取任意线段e，在另一条边上连续n次截取线段f，并将线段的端点注以数字，从顶点开始，分别为0，1，2，…，n和n，n－1，…，2，1，0.
求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线.

第52题星形线The Astroid

直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动，求这条直线的包络.

第53题斯坦纳的三点内摆线Steiner's Three-pointed Hypocycloid

确定一个三角形的华莱士（Wallace）线的包络.

第54题一个四边形的最接近圆的外接椭圆The Most Nearly Circular Ellipse Circumscribing a Quadrilateral

一个已知四边形的所有外接椭圆中，哪一个与圆的偏差最小？

第55题圆锥曲线的曲率The Curvature of Conic Sections

确定一个圆锥曲线的曲率.

第56题阿基米德对抛物线面积的推算Archimedes' Squaring of a Parabola

确定包含在抛物线内的面积.

第57题推算双曲线的面积Squaring a Hyperbola

确定双曲线被截得的部分所含的面积.

第58题求抛物线的长Rectification of a Parabola

确定抛物线弧的长度.

第59题笛沙格同调定理（同调三角形定理）Desargues' Homology Theorem (Theorem of Homologous Triangles)

如果两个三角形的对应顶点连线通过一点，则这两个三角形的对应边交点位于一条直线上.
反之，如果两个三角形的对应边交点位于一条直线上，则这两个三角形的对应顶点连线通过一点.

第60题斯坦纳的二重元素作图法Steiner's Double Element Construction

由三对对应元素所给定的重迭射影形，作出它的二重元素.

I. 求十个数学定理。格式如下：定理：条件：推论：定理要柯西定理之类的，或者简单点的也行！

韦达定理

一元二次方程ax^2+bx+c(a不为0)中

设两个根为x和y

则x+y=-b/a

xy=c/a

2. 勾股定理

在任何一个直角三角形（Rt△）中（等腰直角三角形也算在内），两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方，这就叫做勾股定理。即勾的长度的平方加股的长度的平方等于弦的长度平方。如果用a,b,c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么a^2+b^2=c^2

3. 西摩松（Simson）定理

若从△ABC外接圆上一点P作三边的垂线，三垂足分共线。

4. 笛沙格同调定理

平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。

相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。

5. 欧拉定理

若n,a为正整数，且n,a互质，(a,n)=1，则a^φ(n)≡1(modn)

6. 托勒密定理

圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．

7. 费马大定理

当整数n>2时，关于x,y,z的不定方程x^n+y^n=z^n.无正整数解。

8. 贝叶斯定理

贝叶斯定理也称贝叶斯推理，早在18世纪，英国学者贝叶斯(1702～1761)曾提出计算条件概率的公式用来解决如下一类问题：假设H[,1],H[,2]…互斥且构成一个完全事件，已知它们的概率P(H[,i],i=1,2,…，现观察到某事件A与H[,1],H[,2]…相伴随而出现，且已知条件概率P(A/H[,i])，求P(H[,i]/A)。

贝叶斯公式（发表于1763年）为：P(H[,i]/A)=P(H[,i])P(A│H[,i])/[P(H[,1])P(A│H[,1])+P(H[,2])P(A│H[,2])+…]

这就是著名的“贝叶斯定理”，一些文献中把P(H[,1])、P(H[,2])称为基础概率，P(A│H[,1])为击中率，P(A│H[,2])为误报率[1]。

9. 射影定理（欧几里得定理）

直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC,(2)(AB)^2;=BD·BC,(3)(AC)^2;=CD·BC。等积式(4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)

10. 斯图尔特定理

P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2

J. 求著名的数学定理数学思想(以人名命名 )

阿贝尔-鲁菲尼定理
阿蒂亚-辛格指标定理
阿贝尔定理
安达尔定理
阿贝尔二项式定理
阿贝尔曲线定理
艾森斯坦定理
奥尔定理
阿基米德中点定理
波尔查诺-魏尔施特拉斯定理
巴拿赫-塔斯基悖论
伯特兰-切比雪夫定理
贝亚蒂定理
贝叶斯定理
博特周期性定理
闭图像定理
伯恩斯坦定理
不动点定理
布列安桑定理
布朗定理
贝祖定理
博苏克-乌拉姆定理
垂径定理
陈氏定理
采样定理
迪尼定理
等周定理
代数基本定理
多项式余数定理
大数定律
狄利克雷定理
棣美弗定理
棣美弗-拉普拉斯定理
笛卡儿定理
多项式定理
笛沙格定理
二项式定理
富比尼定理
范德瓦尔登定理
费马大定理
法图引理
费马平方和定理
法伊特-汤普森定理
弗罗贝尼乌斯定理
费马小定理
凡·奥贝尔定理
芬斯勒-哈德维格尔定理
反函数定理
费马多边形数定理
格林公式
鸽巢原理
吉洪诺夫定理
高斯-马尔可夫定理
谷山-志村定理
哥德尔完备性定理
惯性定理
哥德尔不完备定理
广义正交定理
古尔丁定理
高斯散度定理
古斯塔夫森定理
共轭复根定理
高斯-卢卡斯定理
哥德巴赫-欧拉定理
勾股定理
格尔丰德-施奈德定理
赫尔不兰特定理
黑林格-特普利茨定理
华勒斯-波埃伊-格维也纳定理
霍普夫-里诺定理
海涅-波莱尔定理
亥姆霍兹定理
赫尔德定理
蝴蝶定理
绝妙定理
介值定理
积分第一中值定理
紧致性定理
积分第二中值定理
夹挤定理
卷积定理
极值定理
基尔霍夫定理
角平分线定理
柯西定理
克莱尼不动点定理
康托尔定理
柯西中值定理
可靠性定理
克莱姆法则
柯西-利普希茨定理
戡根定理
康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理
凯莱-哈密顿定理
克纳斯特-塔斯基定理
卡迈克尔定理
柯西积分定理
克罗内克尔定理
克罗内克尔-韦伯定理
卡诺定理
零一律
卢辛定理
勒贝格控制收敛定理
勒文海姆-斯科伦定理
罗尔定理
拉格朗日定理 (群论)
拉格朗日中值定理
拉姆齐定理
拉克斯-米尔格拉姆定理
黎曼映射定理
吕利耶定理
勒让德定理
拉格朗日定理 (数论)
勒贝格微分定理
雷维收敛定理
刘维尔定理
六指数定理
黎曼级数定理
林德曼-魏尔斯特拉斯定理
毛球定理
莫雷角三分线定理
迈尔斯定理
米迪定理
Myhill-Nerode定理
马勒定理
闵可夫斯基定理
莫尔-马歇罗尼定理
密克定理
梅涅劳斯定理
莫雷拉定理
纳什嵌入定理
拿破仑定理
欧拉定理 (数论)
欧拉旋转定理
欧几里德定理
欧拉定理 (几何学)
庞加莱-霍普夫定理
皮克定理
谱定理
婆罗摩笈多定理
帕斯卡定理
帕普斯定理
普罗斯定理
皮卡定理
切消定理
齐肯多夫定理
曲线基本定理
四色定理
算术基本定理
斯坦纳-雷姆斯定理
四顶点定理
四平方和定理
斯托克斯定理
素数定理
斯托尔兹-切萨罗定理
Stone布尔代数表示定理
Sun-Ni定理
斯图尔特定理
塞瓦定理
射影定理
泰勒斯定理
同构基本定理
泰勒中值定理
泰勒公式
Turán定理
泰博定理
图厄定理
托勒密定理
Wolstenholme定理
无限猴子定理
威尔逊定理
魏尔施特拉斯逼近定理
微积分基本定理
韦达定理
维维亚尼定理
五色定理
韦伯定理
西罗定理
西姆松定理
西尔维斯特-加莱定理
线性代数基本定理
线性同余定理
有噪信道编码定理
有限简单群分类
演绎定理
圆幂定理
友谊定理
因式定理
隐函数定理
有理根定理
余弦定理
中国剩余定理
证明所有素数的倒数之和发散
秩-零度定理
祖暅原理
中心极限定理
中值定理
詹姆斯定理
最大流最小割定理
主轴定理
中线定理
正切定理
正弦定理